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1926年头，埃尔温·薛定谔发表了一系列论文，这些论文在其时澈底改革了物理学。在当年的三十年里，东谈主们越来越理会地相识到，现存的物理学设施在微不雅措施上根柢不起作用。薛定谔论文的中枢方程本色上取代了牛顿第二定律在原子措施上的作用，能够极其精准地姿色电子等粒子的活动。

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热方程

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波动方程

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薛定谔方程薛定谔方程与经典物理学中的热方程和波动方程尽头雷同，但有一个例外，那即是虚数 i。这个 i 是在作念什么？薛定谔的方程至关遑急且颇具争议地用波的观念取代了粒子的观念，并冷漠在空间中的某少量上，这种物资波的值跟着时间变化，与波在空间中的曲率成正比。这种比例关系在热方程中很有好奇，举例，在从冷到热再到冷快速变化的区域，热区会跟着热量的扩散而逐渐冷却。但在薛定谔方程中，时间导数乘以虚数i。为什么乘以i会将热方程变成对物成本人极其准确的姿色？虚数自后成为量子物理学的中枢，并在这一最基本且告捷的天然表面中证实了遑急作用。1925年，爱因斯坦发表了一篇论文，援用了一位鲜为东谈主知的法国东谈主路易·德布罗意的博士论文。在这篇论文中，德布罗意将爱因斯坦和普朗克在1905年所揭示的光量子（光子）表面彭胀到物资波。他讲解，要是将物资视为波而不是碎裂粒子，并将普朗克-爱因斯坦关系彭胀到这些物资波上，就不错精准筹划氢原子的活动。

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当爱因斯坦的论文传到物理学家埃尔温·薛定谔手中时，他很快相识到，德布罗意的使命是对他我方在模范表面商议中所涉畛域的更优雅和多量的版块。薛定谔对物资本色上可能是波这一想法产生了极大的意思意思。1925年11月，薛定谔在其苏黎世的母校发表了对于德布罗意物资波的讲座后，他的共事彼得·德拜评阐发：“要是物资波是确切的，那么势必会有一个姿色物资波的方程。”这一评述深深印在薛定谔的脑海里。几周后，薛定谔带着论文和书本前去瑞士阿尔卑斯山度假，并在山间的房间里最先商议这一问题。他从经典波动方程脱手，试图对其进行修改，使其与德布罗意的物资波完毕相兼容。经典波动方程中，

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函数y是位置和时间的函数，暗示波的位移，举例振动弦上的某点相对于静止位置的险峻偏移，v是波的传播速率。薛定谔的设施是将空间和时间部分分离，永别取得两个新的微分方程：一个仅依赖于位置，另一个仅依赖于时间。

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位置方程标明波的曲率应与波的负位移成正比，这在振动弦的例子中尽头合理——正位移大的点肤浅对应负曲率大的点，反之亦然。从数学上看，位置方程标明应该存在一个对于x的函数，当对其进行两次微分时，完毕等于它自身乘以某个负常数。正弦函数和余弦函数齐具有这种性质，碰劲餍足咱们的微分方程。

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对薛定谔来说，遑急的是当咱们将弦的两头固定在x=0和 x=L（弦的长度）时，惟有尽头特定的k 值不错餍足要求。

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直不雅地看，这意味着咱们不错在弦的固定两头之间拟合半个正弦波、一个完整的正弦波、一个半正弦波加一个正弦波……依此类推，但不可有介于这些之间的波形。

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这种活动导致振动弦产生尽头洁白的曲调，振动频率是基频的约略整数倍。这种活动对于薛定谔的商议至关遑急。与振动弦雷同，氢原子只在尽头特定的频率下产生能量。然则，对于氢原子，这些频率并不像振动弦那样均匀圮绝。薛定谔的但愿是，要是他使用德布罗意的物资波设施修改经典波动方程，那么他的新波动方程的解将与氢原子的不雅测辐照光谱相匹配。起初，薛定谔将代表物资波的函数换成希腊字母 ψ，并将波数k再行写成波长的风景。

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他随后代入德布罗意的公式，该公式将物资波的波长与其动量（质料乘以速率）策划起来。

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经典波动方程中的常数项当今依赖于物资波的质料平方乘以速率平方。在经典物理学中，动能等于

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因此不错将分子改写为

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临了，薛定谔将总能量E暗示为动能加势能 V，并解挪动能，将其代入方程

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氢原子包含一个质子和一个电子。薛定谔假定质子是固定的，为电子创造了一个电势，电势的抒发式为电子电荷e 除以电子与质子之间的距离 r

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由于原子是三维的，因此需要将空间导数彭胀到 x、y、z 三个维度

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从这里最先，薛定谔需要找到他的物资波方程的解。正如咱们之前在振动弦问题中发现的那样，惟有特定的k值不错成为解。薛定谔通过参考数学书本，并在数学家赫尔曼·外尔的匡助下，措置了氢原子的波动方程。他讲解，方程中的能量项E亦然量子化的，况且这些能量值的圮绝与氢原子的不雅测辐照光谱纯粹一致。这一发现使得薛定谔得以在1926年1月27日提交他的论文，随后在科学界引起了赶快而积极的反响。薛定谔的服从被物理学家奥本海默评价为“概况是东谈主类发现的最圆善、最准确、最优好意思的表面之一”。物理学家保罗·狄拉克也指出：“薛定谔的服从包含了大部分物理学，并原则上涵盖了通盘化学。”化学课中常提到的轨谈电子散布图恰是薛定谔方程的解。直到这个时候，薛定谔的数学设施还莫得波及虚数。这一切在1926年夏天发生了变化，其时他彭胀了我方的设施以包括随时间变化的系统。他的这一彭胀需要措置更复杂的动态系统问题，从而引入了虚数。”在薛定谔率先的商议中，他从经典波动方程的空间部分最先。为了完满措置振动弦问题，咱们需要将空间解 f 与时间解 g 相乘，从而狡计弦上每个点的最终位置 y，当作位置和时间的函数，

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在经典波动方程中，空间和时间部分餍足疏浚的微分方程，只是常数不同，

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因此时间解亦然正弦和余弦波，

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物理学家，包括薛定谔在内，常用的一种数学技能是使用复指数暗示这些解。举例，咱们不错用

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暗示余弦

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对复指数进行微分尽头约略，只需将指数项前移即可

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二阶导数为

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这标明

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是微分方程的一个灵验解。遑急的是，在此之前，尽管复数在狡计中通常被使用，最终谜底肤浅只取其实部。物理问题中的通盘什物量（如弦的位移）齐对应复指数的实部。然则，为了将他的方程彭胀到时间畛域，薛定谔从复指数暗示的波函数登程，假定在狡计完成后不错取其实部。由于物资波的能量与其频率成正比（由普朗克-爱因斯坦关系给出），咱们不错将复指数再行写成与波总能量 E 关系的风景，

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通过微分不错得出波的能量乘以波函数与波函数的一阶导数成比例，且比例常数为 i

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将这一完毕代入薛定谔的时间无关方程中，取得了当代版块的薛定谔方程，

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薛定谔很早就发现了这条旅途，但他对虚数的使用感到徬徨。他曾写信给物理学家亨德里克·洛伦兹说：“这里令东谈主动怒、致使径直令东谈主反对的是使用复数。波函数 ψ 应该是一个实函数。”然则，薛定谔方程中时间导数把握明确出现的 i 标明纯实数波函数无法确立。波函数本人必须由复数组成。事实讲解，波函数的复数风景和时间导数乘以 i 并不是颓势，而是特点。它使薛定谔方程能够优雅地姿色物资的活动。让咱们筹商薛定谔方程怎样愚弄于一维摆脱粒子，举例隔离任何其他粒子的电子，

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在这种情况下，势能V 为零。咱们暂时将通盘常数合并为一个单一的常数，称为c，并设其值为0.1，

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假定一个尽头约略的波函数运转现象，中心值为1，其周围值为0。

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咱们不错通过数值设施估算波函数在中心位置的二阶空间导数，设施是将相邻波函数值相加，然后减去中心位置波函数值的两倍，

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因此，狡计完毕为−2。不错通过表格记载薛定谔方程的每一部分随时间的变化。

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av收藏夹经过几步后，一个理会的趋势最先显露：波函数的空间导数鼓舞其在复平面上沿鬈曲或圆形旅途挪动。在经典波动方程中，空间曲率鼓舞波随时间险峻摇荡，而在薛定谔方程中，波的空间曲率鼓舞复波函数在复平面上绕圆形轨迹通顺，

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不错通过筹商薛定谔方程的一个约略解，即平面波，来更庸碌地息争这种活动在空间和时间上的推崇，这种波函数是一个对于位置和时间的复指数函数。直不雅上，这种平面波看起来像一个实部为余弦、虚部为正弦的波，跟着时间的推移向右传播，不错将一维空间中的每少量视为一个小的复平面。波的实部余弦部分在复平面上把握挪动，而虚部正弦部分险峻挪动。这两个重量集结在一谈，变成一个绕单元圆通顺的复数，跟着时间推移持续旋转，

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通过数值设施看到，平面波相对于位置的二阶导数为-k^2 乘以原始平面波。这与数值分析完毕一致：空间导数的完毕与波函数值在复平面上的位置相对原点的办法相背，其大小取决于平面波的空间频率 k。薛定谔方程告诉咱们将这个值乘以 i，取得波函数的时间变化率，这会将空间导数在复平面上逆时针旋转90度。这种旋转鼓舞波函数在复平面上沿圆形旅途通顺。更高的空间频率k意味着平面波在空间中摇荡得更快，从而增多了波函数的曲率和二阶导数的大小。字据薛定谔方程，较大的空间曲率会导致波函数在复平面上更快地旋转。将完整的平面波代入薛定谔方程，咱们不错讲解平面波是薛定谔方程的一个解，并复原空间频率 k与时间频率 ω之间的精准关系，

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这恰是薛定谔从德布罗意物资波关系中得出的关系。因此，平面波在复平面上推崇为一系列螺旋轨迹，而薛定谔方程将这些螺旋在空间和时间中的活动策划了起来。当今，咱们需要念念考这些具有复数值的物资波是否合理地姿色了像电子这么的物理粒子。除了包含虚数 i 外，薛定谔方程的另一个遑急特点是波函数偏激导数莫得被普及到任何幂次。这使得薛定谔方程是线性的。这意味着，要是有两个波函数，记为 ψ_1 和 ψ_2，它们的线性组合ψ_1+ψ_2亦然薛定谔方程的一个灵验解。这种线性特点意味着薛定谔方程适用于任何平面波的组合。举例，要是有一个疏浚的螺旋波函数，但在空间上相对于原始波函数平移了半个波长，那么这两个波函数的重复将完满相互对消，导致全体波函数在职何位置的值齐为零。波函数能够像这么相互插手的技巧对于物资的波动特点至关遑急。这种特点在诸如双缝推行中取得了考证。在双缝推行中，要是向一个狭缝辐照一束电子，然后通过探伤器不雅察其散布，完毕骄横电子的散布是平滑的，最可能落点在狭缝正后方，跟着距离狭缝的增大，概率逐渐裁汰。

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然则，当大开第二个狭缝时，要是电子只是是粒子，咱们会盼望两个狭缝的散布重复，从而取得一个全体的探伤模式，看起来与单个狭缝的模式雷同。然则，推行中不雅察到的完毕却并非如斯。

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1927年，戴维森初度通过电子考证了这种悠然。推行骄横，咱们看到了一种波动的图案，某些位置简直莫得电子到达。这种活动不错通过薛定谔的物资波表面来息争。咱们不错将电子暗示为一个小波包。

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这种波包亦然薛定谔方程的一个灵验解。接下来，从一维空间转到二维空间。在二维中，每个空间点对应一个复平面可能会变得愈加勤劳，因此咱们切换到另一种面容，将复波函数的幅度暗示为名义的高度，用颜料暗示复数的角度。当关闭其中一个狭缝时，物资波通过单个狭缝传播，扩散均匀。再次运行推行，关闭另一个狭缝，不雅察到的完毕雷同。然则，当咱们将两个狭缝齐大开时，物资波在空间中变成插手。细心，波函数的幅度是平滑的弧线，这相宜粒子活动的预期。然则，组成波函数的复数的角度在探伤器名义上变化，而两个推行中这些角度并不老是一致。这意味着物资波在某些位置上会失去相位。当两个狭缝大开时，这些位置上会发生谮媚性插手。在推行中，这恰是咱们所看到的：电子的物资波在这些位置上相互对消，与推行完毕完满一致。因此，波函数中复数的角度（也被称为相位）储存了对于电子物资波的遑急信息。这种相位导致波在某些空间位置上与自身或其他波发生谮媚性插手，从而相宜推行不雅测。

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几天后，在薛定谔提交他那一系列冲破性论文中的临了一篇之后，物理学家马克斯·玻恩提交了一篇论文，其中包含了咱们今天称为“玻恩规则”的内容。字据玻恩规则（尽管有一些完毕要求），波函数幅度的平方等于粒子在空间某位置被找到的概率。字据玻恩规则，波函数的幅度告诉咱们粒子最有可能出当今空间中的哪个位置，而波函数的复数角度（相位）则姿色了物资波怎样与自身偏激他物资波发生插手。天然不错通过其他数学设施完结这种活动，但复数在这里尽头陋劣。令东谈主感意思意思的是，当薛定谔将经典波动方程与德布罗意的物资波关系集结时，虚数天然则然地融入其中，成为表面的一部分。要是将二维波包放入一个盒子中，薛定谔方程中的势能项会导致波包在盒子畛域处反射，并与自身发生插手，变成一组碎裂的固定波动模式。这种活动与薛定谔方程在三维空间中愚弄于氢原子时发现的量子化能级尽头雷同。令东谈主咋舌的是，并吞个复值波函数不仅不错姿色摆脱电子在双缝推行中的活动，还不错解释被料理的电子在原子中的量子化能级。这种统一性标明，薛定谔方程不仅具有表面上的优雅，还在推行中取得了考证。多年后，在1970年的一次讲座中，伟大的量子物理学家保罗·狄拉克这么姿色波函数：“要是有东谈主问我量子力学的主要特征是什么，我当今倾向于说是概率振幅的存在，它支执了通盘的原子流程。概率振幅与推行关系，但只是一部分。振幅的平方是咱们不错不雅测到的东西，即推行东谈主员所取得的概率。但除此除外，还存在一个相位，这个相位的模为1，不错在不影响振幅平方的情况下进行修改。这个相位尽头遑急，因为它是通盘插手悠然的开始，但它的物理好奇仍不理会。”是以，你不错说，海森堡和薛定谔的真确天才之处在于发现了包含这种相位量的概率振幅的存在，而这种相位量在天然界中被深深地秘籍了起来。正因为它秘籍得如斯之深，东谈主们才莫得更早地猜度量子力学。狄拉克在这里提到的“相位”是组成波函数的复数的角度。虚数和复数为咱们提供了一种优雅的用具，用来暗示和处理这种相位，而这种相位是咱们息争微不雅措施上物资怎样运作的遑急组成部分。量子力学的兴起成为虚数发展史上令东谈主咋舌的一章。物理学家弗里曼·戴森写谈：“虚数在波能源学中的出现是天然界最开阔的见笑之一。”薛定谔方程中的虚数标未来然界使用的是复数而不是实数。对于复数在这里的必要性，仍然存在一些争论。薛定谔本东谈主似乎从未完满接管一个真确复值的波函数，尽管他自后在我方的使命和交流中陆续使用它。然则，让东谈主敬畏的是，这些照旧被咱们万古期视为“不可能”或“编造”的数字，最终却在咱们对天然界最长远和最准确的表面中饰演了如斯遑急的脚色。 本站仅提供存储办事，通盘内容均由用户发布，如发现存害或侵权内容，请点击举报。