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思象空间中有一个点，它在场所的空间中移动。不错通过浅薄地绘图它经由的旅途来跟踪其轨迹，从而酿成一条弧线。由于弧线位于屏幕的平面上，因此不错将坐标系的原点建树在职意位置。

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接着，对弧线进行参数化。参数 t 的作用肖似于时候，但不一定是时候。不外，将其视为输入是有效的，而点的坐标所示意的向量则是输出。因此，关于每个输入值 t，齐有一个位置的输出值。这不仅使得绘图由旅途酿成的弧线成为可能，还大要对弧线进行微积分运算，包括筹算极限、导数、积分等。这一切之是以可能，是因为这条弧线接纳来自欧几里得空间的输入（R），并复返相应的输出（R^2）。换句话说，它是一个从欧几里得空间R到欧几里得平面或曲面R^2的映射。

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关联词，若是咱们告诉你，实质上，这一切齐发生在一个曲面上，而咱们仅仅因为离得太近，无法感知到周围空间的曲率，是以才误认为它是平的呢？

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若是这是竟然，情况就很晦气了。因为咱们刚刚作念的通盘微积分运算——极限、导数、积分等——齐是无理的。咱们弗成再进行微积分了，因为咱们面前发现，实质上 是一个从欧几里得平面 映射到非欧几里得曲面M的映射。咱们频繁把这个空间称为流形。

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欧美av女星非欧几里得空间并不是弗成进行微积分运算，而是因为其空间具有曲率，导致传统的欧几里得微积分工夫不再适用。在非欧几里得空间中，微积分需要依赖曲率影响的度量张量和黎曼几多么器具，进行允洽曲面逶迤性的运算。举例，弧线长度、面积筹算以及导数和积分的界说齐需要接头空间的逶迤特色，因此微积分运算在这些空间中愈加复杂。并不十分严谨地说，流形是一个一维、二维、三维致使 n 维的空间，它可能有曲率，也可能莫得曲率。 但最要紧的是，它在局部看起来像欧几里得平面。 一个异常好的例子是地球。咱们无法通过站在地球名义上来感知地球的曲率，因为在局部看起来是平的。是以，咱们说地球在局部是一个欧几里得空间，或者浅薄地说，是一个流形。不管怎么，面前咱们濒临一个异常特等的情况：咱们感意思意思的旅途弧线存在于流形中。而最难以直不雅交融的部分在于，这个流形并未镶嵌在职何其他空间中。固然，在屏幕上展示这少量异常清苦，但你只需交融，这个流形本人即是一个颓靡的空间，它不需要依赖于更大的空间智商存在。从数学的角度来看，咱们称之为未镶嵌到更高维空间中的结构。那么，咱们该若那边理这个问题呢？我的真义是，咱们仍然但愿大要在流形上进行微积分。而这恰是微分几何（DifferentialGeometry）的用武之地。这个学科为咱们提供了完了指标所需的通盘器具。面前，咱们还是从直不雅角度交融了现时情况，并了了地讲述了要处理的问题。接下来，让咱们将野心升迁到更高的眉目。思象一个综合的流形 M，其维度为n，它并莫得镶嵌到像 R^n这么的高维空间中。

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然后，考取流形中的一个点 p，在该点p的小邻域U中，不错界说一条经由p的参数化弧线，称为 γ(t)，它从实数区间 [a， b]映射到流形M。在M 中，弧线的像是区间 γ(a) 到 γ(b)。咱们还条目通盘这个词弧线齐位于邻域U内。接下来，界说一个映射Φ从流形的邻域U映射到 R^n，

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其中n是流形M的维度，亦然欧几里得空间R^n的维度。由于咱们不错创建复合映射

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它将实数区间 [a， b]映射到 R^n，因此咱们也不错在这里进行微积分运算，因为这是一个从一维欧几里得空间映射到n维欧几里得空间的映射。那么，咱们所说的微积分究竟是什么真义呢？稍后咱们会看到，但领先有一些要紧的领导：流形M弗成使用传统的X，Y、Z 等欧几里得坐标来描摹，因为它不一定镶嵌在R^n中。因此，咱们需要界说流形的内在坐标u、v，这些坐标将行为一种网格，用来测量流形上各点之间的距离。

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为了测量距离，必须界说一个度量。趁机提一下，当期骗于广义相对论时，度量频繁界说为g，它描摹了流形上的引力。另一个要紧的学问点是，映射Φ从流形邻域U映射到R^n被数学家称为局部坐标图，而物理学家称其为坐标系。面前来看一个具体例子：有一个综合的二维流形M，它是一个抛物面风景，但并不镶嵌到R^3中。

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考取流形M 中的一个点p，让U为p的一个小邻域。这个邻域U允许咱们在流形上局部责任。咱们弗成使用传统的欧几里得空间坐标，而是使用内在坐标u、v来描摹它。界说一个参数化弧线 γ从 [0，10]区间映射到流形 M，它是流形上的一条弧线。

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区间[0，10]行为参数t的界说域，而γ的像是流形上的弧线。令弧线的逶迤度 γ(t)由内在坐标u(t)和 v(t)来示意，

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其中u(t) 界说为t，而v(t)=t^2。这里u(t)、v(t) 示意弧线γ在流形上的内在坐标系统中的坐标，但咱们还莫得野心这些内在坐标u、v在流形M上的全局阐扬风景。内在坐标就像流形上的网格，在这个例子中，咱们选择这个网格来示意流形上的标的和距离，肖似于极坐标或测地坐标，它们跟着咱们在名义上的移动而平滑变化。接下来，界说一个映射Φ从U到 R^2，它将流形上的邻域U映射到 R^2 中，Φ(u，v)被界说为

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这是一个异常浅薄的映射，将内在坐标u、v径直映射到 R^2。面前，咱们将Φ与弧线 γ 组合，取得复合映射

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它将区间 [0，10] 映射到 R^2。在这种情况下，φ∘γ(t)的遵守是 (t， t^2)，它是 R^2 中的一个抛物线。这是一个从一维欧几里得空间R到二维欧几里得空间 R^2的复合映射，因此咱们不错在它上头进行微积分运算。第一个运算是微分。复合映射 φ∘γ 的导数是其坐标的导数，遵守是向量 (1， 2t)。

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这是从 t=0到 t=10的切向量。若是t代表时候，那么这个向量即是弧线 γ上每少量的线性或切向速率。但即使从视觉角度来看，这也没专诚旨，因为流形是逶迤的，而向量是直线的。固然，假定咱们使用最浅薄的向量视图——箭头示意法，那么切向量就会从流形M 上“凸起来”。但这种示意时势一样是没专诚旨的，因为咱们还是说过流形并莫得镶嵌到更高维的空间中，是以在流形M 外部绘图任何东西齐是没专诚旨的。相关于流形而言，莫得所谓的外部宇宙。因此，这里的示意工夫实质上是无理的。此时，不错说切向量 (1，2t) “生涯”在映射 Φ 的指标空间 R^2中，但这也不全齐正确。切向量实质上生涯在这么的切空间中，

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这实质上是 R^2的另一个颓靡副本。留意到，当 t=0时，切向量 (1，0) 是流形M上运行点γ(0) 处的切向量，或者说是速率向量。而当 t=10时，切向量 (1，20)是流形M上点γ(10)处的切向量。还不错看到，切向量沿着弧线 γ 从运行点到最绝顶线性增多。第二，切向量的大小和积分：切向量的大小，或称“弧长”，是这个：

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为了找到弧线 γ(t)=(t， t^2) 在 R^2 中从t=0到 t=10的弧长，咱们对切向量的大小在该区间上进行积分，

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这个积分示意了旅途 t，t^2在 R^2中的长度，不错通过如下时势求解。咱们领先进行变量替换，设

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因此它的导数是

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这么不错将积分写成如下风景，

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此时，不错使用以下三角不等式：

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因此，不错将积分写成这么的风景

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接下来使用的三角恒等式是：

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在现时抒发式中使用这个公式后，取得如下风景，

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回到 t=1\2sinh⁡(θ) 的界说，不错通过逆运算将 θ 用 t 示意出来，并取得以下相关式，

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为了简化筹算，在第二项中使用另一个三角恒等式：

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咱们不错筹算第一项并将此替换期骗于第二项。接下来，留意到

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是以第二项中的二不错消掉，并再次使用咱们之前得出的两个事实，即

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最终取得如下近似值：

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这是弧线 t，t^2在 R^2中的近似长度。第三，曲率：为高出到旅途t，t^2 在 R^2中的曲率 κ，使用如下公式，

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其中

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让咱们筹算一下。这个曲率描摹了弧线在 R^2 中每个点的逶迤进度。当t趋近于零时，κ(0)=2，这意味着弧线在滥觞的逶迤度是最大的。而当t趋近于无限大时，κ(t) 趋近于零，这意味着弧线会跟着辩别原点而慢慢变平。 本站仅提供存储处事，通盘内容均由用户发布，如发现存害或侵权内容，请点击举报。